AdaptiveGaussKronrod (f,a,b)Find the integral of f over the interval [a,b] using an adaptive algorithm using Gauss-Kronrod rule G7 K15.
It will subdivide adaptively until the relative error is less than
AdaptiveGaussKronrodRelativeTolerance
or the absolute error is within
AdaptiveGaussKronrodAbsoluteTolerance.
The subinterval with the largest error is subdivided into two until we get a small enough error or until we hit
AdaptiveGaussKronrodMaxIterations iterations.
If an estimate within the given range is not achieved within the iteration limit, then null is returned and error is
printed.
See Wikipedia for more information.
Version 1.0.28 onwards.
AdaptiveGaussKronrod (f,a,b,abstol,reltol)Find the integral of f over the interval [a,b] using an adaptive algorithm using Gauss-Kronrod rule G7 K15.
It will subdivide adaptively until the relative error is less than abstol
or the absolute error is within reltol.
The subinterval with the largest error is subdivided into two until we get a small enough error or until we hit
AdaptiveGaussKronrodMaxIterations iterations.
If an estimate within the given range is not achieved within the iteration limit, then null is returned and error is
printed.
This function is useful if different precision than the defaults is needed and one does not want to change global parameters. For example, if less precision is needed and speed is paramount. Otherwise just use AdaptiveGaussKronrod or NumericalIntegral
See Wikipedia for more information.
Version 1.0.28 onwards.
CompositeSimpsonsRule (f,a,b,n)
Integration of f by Composite 1/3 Simpson's Rule
on the interval [a,b] with n subintervals with error of
max(f'''')*h^4*(b-a)/180, note that n should be even.
If the given n is odd, then 1 is added to make it even.
It is the 1/3 variant of the rule that is used, that is, if the x0,x1,x2,...,xn are the points, then the rule is ((b-a)/n) * (f(x0) + 4*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 4*f(x(n-1)) + f(xn)).
The n argument is optional. If it is not given
the value of NumericalIntegralSteps is used, which is by default 1000.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
CompositeSimpsonsRule (f,len)Integration using Composite Simpson's rule of a function given by a vector of values f given at equal subintervals. The integration interval is taken to be of length len, that is,
if the interval is [a,b], then len should be b-a. The vector f should have at least 3 values (representing 2 subintervals). Normally the 1/3 rule is used. If there is an odd number of subintervals, the 3/8 rule is used on the last 3 subintervals.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Version 1.0.28 onwards.
CompositeSimpsonsRuleTolerance (f,a,b,FourthDerivativeBound,Tolerance)
Integration of f by Composite 1/3 Simpson's Rule on the interval [a,b] with the number of steps calculated by the fourth derivative bound and the desired tolerance.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Derivative (f,x0)
Προσπαθεί να υπολογίσει την παράγωγου δοκιμάζοντας πρώτα συμβολικά και έπειτα αριθμητικά.
See Wikipedia for more information.
EvenPeriodicExtension (f,L)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι άρτια περιοδική επέκταση της f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή μια συνάρτηση που ορίστηκε στο διάστημα [0,L] επεκτάθηκε για να είναι άρτια στο [-L,L] και έπειτα επεκτάθηκε να είναι περιοδική με περίοδο 2*L.
Δείτε επίσης OddPeriodicExtension και PeriodicExtension.
Version 1.0.7 onwards.
FourierSeriesFunction (a,b,L)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι μια σειρά Φουριέ με τους συντελεστές δοσμένους από τα διανύσματα a (ημίτονα) and b (συνημίτονα). Σημειώστε ότι, το a@(1) είναι συντελεστής σταθεράς! Δηλαδή, το a@(n) αναφέρεται στον όρο cos(x*(n-1)*pi/L), ενώ το b@(n) αναφέρεται στον όρο sin(x*n*pi/L). Είτε το a είτε το b μπορεί να είναι null.
GaussKronrodRule (f,a,b)A single shot Gauss-Kronrod rule G7 K15 over the interval [a,b]. It returns a vector where the first element is
the approximate integral and the second is the approximate error obtained by subtracting the G7 and K15 approximates.
This is already quite good, but often it is better to call it from within the
AdaptiveGaussKronrod function,
which is the default for
NumericalIntegral.
See Wikipedia for more information.
Version 1.0.28 onwards.
InfiniteProduct (func,start,inc)
Προσπαθεί να υπολογίσει ένα άπειρο γινόμενο για μια συνάρτηση απλής παραμέτρου.
InfiniteProduct2 (func,arg,start,inc)
Προσπαθεί να υπολογίσει ένα άπειρο γινόμενο για μια συνάρτηση διπλής παραμέτρου με func(arg,n).
InfiniteSum (func,start,inc)
Προσπαθεί να υπολογίσει ένα άπειρο άθροισμα για μια συνάρτηση απλής παραμέτρου.
InfiniteSum2 (func,arg,start,inc)
Προσπαθεί να υπολογίσει ένα άπειρο άθροισμα για μια συνάρτηση διπλής παραμέτρου με func(arg,n).
IsContinuous (f,x0)
Δοκιμάστε για να δείτε αν μια συνάρτηση πραγματικών τιμών είναι συνεχής στο x0 υπολογίζοντας το όριο εκεί.
IsDifferentiable (f,x0)
Δοκιμή διαφορισιμότητας προσεγγίζοντας το αριστερό και δεξιό όριο και συγκρίνοντας.
LeftHandRule (f,a,b,n)Integration by left hand rule on the interval [a,b] with n subintervals.
The n argument is optional. If it is not given the value of NumericalIntegralSteps is used, which is by default 1000.
Version 1.0.28 onwards.
LeftLimit (f,x0)
Υπολογίζει το αριστερό όριο μιας συνάρτησης πραγματικών στο x0.
Limit (f,x0)
Υπολογίζει το όριο μιας συνάρτησης πραγματικών στο x0. Προσπαθεί να υπολογίσει και το αριστερό και το δεξιό όριο.
MidpointRule (f,a,b,n)
Integration by midpoint rule on the interval [a,b] with n subintervals.
The n argument is optional. If it is not given the value of NumericalIntegralSteps is used, which is by default 1000.
The n is optional for version 1.0.28 onwards.
NumericalDerivative (f,x0)
Παραλλαγές: NDerivative
Προσπάθεια υπολογισμού αριθμητικής παραγώγου.
See Wikipedia for more information.
NumericalFourierSeriesCoefficients (f,L,N)
Επιστρέφει ένα διάνυσμα διανυσμάτων [a,b] όπου το a είναι οι συντελεστές συνημιτόνου και το b είναι οι συντελεστές ημιτόνου της σειράς Φουριέ του f με ημιπερίοδο L (που ορίζεται στο [-L,L] και επεκτείνεται περιοδικά) με συντελεστές μέχρι τον Nστό αρμονικό που υπολογίζεται αριθμητικά. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας το NumericalIntegral.
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalFourierSeriesFunction (f,L,N)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι η σειρά Φουριέ του f με ημιπερίοδο L (που ορίζεται στο [-L,L] και επεκτείνεται περιοδικά) με συντελεστές μέχρι τον Nστό αρμονικό που υπολογίζεται αριθμητικά. Αυτή είναι η τριγωνομετρική πραγματική σειρά που αποτελείται από ημίτονα και συνημίτονα. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας το NumericalIntegral.
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalFourierCosineSeriesCoefficients (f,L,N)
Επιστρέφει ένα διάνυσμα συντελεστών της σειράς Φουριέ συνημιτόνου του f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή, η f ορισμένη στο [0,L] παίρνει την άρτια περιοδική επέκταση και υπολογίζει τη σειρά Φουριέ, η οποία έχει μόνο όρους συνημιτόνου. Η σειρά υπολογίζεται μέχρι τον Nστό αρμονικό. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας την NumericalIntegral. Σημειώστε ότι το a@(1) είναι ο συντελεστής σταθεράς! Δηλαδή, a@(n) αναφέρεται στον όρο cos(x*(n-1)*pi/L).
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalFourierCosineSeriesFunction (f,L,N)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι η σειρά Φουριέ συνημιτόνου του f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή, παίρνουμε την f ορισμένη στο [0,L], παίρνει την άρτια περιοδική επέκταση και υπολογίζει τη σειρά Φουριέ, η οποία έχει μόνο όρους συνημιτόνου. Η σειρά υπολογίζεται μέχρι τον Nστό αρμονικό. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας την NumericalIntegral.
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalFourierSineSeriesCoefficients (f,L,N)
Επιστρέφει ένα διάνυσμα συντελεστών της σειράς Φουριέ ημιτόνου του f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή, η f ορισμένη στο [0,L] παίρνει την περιττή περιοδική επέκταση και υπολογίζει τη σειρά Φουριέ, η οποία έχει μόνο όρους ημιτόνου. Η σειρά υπολογίζεται μέχρι τον Nστό αρμονικό. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας την NumericalIntegral.
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalFourierSineSeriesFunction (f,L,N)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι η σειρά Φουριέ ημιτόνου του f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή, παίρνουμε τη f ορισμένη στο [0,L], παίρνει την άρτια περιοδική επέκταση και υπολογίζει τη σειρά Φουριέ, η οποία έχει μόνο όρους ημιτόνου. Η σειρά υπολογίζεται μέχρι τον Nστό αρμονικό. Οι συντελεστές υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας την NumericalIntegral.
See Wikipedia or Mathworld for more information.
Version 1.0.7 onwards.
NumericalIntegral (f,a,b)
Integration by rule set in NumericalIntegralFunction of f from a to b.
By default NumericalIntegralFunction is the AdaptiveGaussKronrod,
which implements an adaptive algorithm based on the
Gauss-Kronrod G7 K15 rule. It is possible that null is returned if the algorithm cannot find
an approximation within tolerance in a tunable maximum number of iterations.
Gauss-Kronrod is the default algorithm since version 1.0.28 onwards.
NumericalLeftDerivative (f,x0)
Προσπαθεί να υπολογίσει την αριθμητική αριστερή παράγωγο.
NumericalLimitAtInfinity (_f,step_fun,tolerance,successive_for_success,N)
Προσπαθεί να υπολογίσει το όριο του f(step_fun(i)) καθώς το i πηγαίνει από 1 έως N.
NumericalRightDerivative (f,x0)
Προσπαθεί να υπολογίσει την αριθμητική δεξιά παράγωγο.
OddPeriodicExtension (f,L)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι περιττή περιοδική επέκταση της f με ημιπερίοδο L. Δηλαδή μια συνάρτηση που ορίστηκε στο διάστημα [0,L] επεκτάθηκε για να είναι περιττή στο [-L,L] και έπειτα επεκτάθηκε να είναι περιοδική με περίοδο 2*L.
Δείτε επίσης EvenPeriodicExtension και PeriodicExtension.
Version 1.0.7 onwards.
OneSidedFivePointFormula (f,x0,h)
Υπολογίζει τη μονόπλευρη παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο πέντε σημείων.
OneSidedThreePointFormula (f,x0,h)
Υπολογίζει τη μονόπλευρη παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο τριών σημείων.
PeriodicExtension (f,a,b)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που είναι η περιοδική επέκταση της f ορισμένη στο διάστημα [a,b] και έχει περίοδο b-a.
Δείτε επίσης OddPeriodicExtension και EvenPeriodicExtension.
Version 1.0.7 onwards.
RightHandRule (f,a,b,n)Integration by right hand rule on the interval [a,b] with n subintervals.
The n argument is optional. If it is not given the value of NumericalIntegralSteps is used, which is by default 1000.
Version 1.0.28 onwards.
RightLimit (f,x0)
Calculate the right limit of a real-valued function at x0.
TrapezoidRule (f,a,b,n)Integration by trapezoid rule on the interval [a,b] with n subintervals.
The n argument is optional. If it is not given the value of NumericalIntegralSteps is used, which is by default 1000.
Version 1.0.28 onwards.
TwoSidedFivePointFormula (f,x0,h)
Υπολογίζει τη δίπλευρη παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο πέντε σημείων.
TwoSidedThreePointFormula (f,x0,h)
Υπολογίζει τη δίπλευρη παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο τριών σημείων.